Acordes como superposición de ondas

1 Nota y acorde

En el lenguaje cotidiano de la guitarra, la instrucción «toca un Re» rara vez se refiere a una sola nota. La nota Re es una oscilación de frecuencia definida: la cuarta cuerda al aire vibra a 146.83 Hz y produce, por sí sola, un Re. El acorde de Re mayor, en cambio, es la superposición de tres clases de altura (Re, Fa# y La) distribuidas en cuatro cuerdas; una de ellas, el Re, aparece repetida una octava arriba.

La distinción es física antes que musical. Una cuerda aislada genera una presión acústica periódica; varias cuerdas generan la suma de sus presiones. Lo que el oído recibe es esa suma, y la pregunta interesante es por qué ciertas sumas se perciben como estables y otras como ásperas.

Acorde

Afinación

Timbre en la gráfica

Escuchar

En el mástil

Un punto del mástil o ▶ reproduce una sola cuerda; la casilla la activa o desactiva. En iPhone, desactiva el modo silencio.

Formas de onda

Ventana 30 ms Movimiento

Fig. 1 Explorador de acordes. Cada traza de color corresponde a una cuerda (azul: raíz; rojo: tercera; ámbar: quinta). La traza blanca inferior es la suma, que es la presión que llega al oído. Las líneas punteadas marcan el periodo de la suma. El sonido proviene de una cuerda sintetizada (Sección 5).

2 Construcción de la triada

Cada traste de la guitarra eleva la frecuencia en un semitono. Doce semitonos forman una octava, que duplica la frecuencia; en consecuencia, cada semitono multiplica la frecuencia por la raíz duodécima de dos:

(1)f_n = f₀ · 2^n/12, 2^1/12 ≈ 1.0595

Una escala mayor selecciona siete de las doce notas según el patrón fijo de intervalos T–T–S–T–T–T–S (tono = 2 semitonos). Partiendo de Re se obtiene Re, Mi, Fa#, Sol, La, Si, Do#. Una triada toma los grados 1, 3 y 5 de esa escala. Medida en semitonos desde la raíz, la triada mayor es (0, 4, 7) y la menor (0, 3, 7): solo difieren en la tercera, un semitono más grave en el caso menor. En el mástil, pasar de Re a Re menor equivale a desplazar un dedo un traste.

Grado	I	ii	iii	IV	V	vi	vii°
Tipo	mayor	menor	menor	mayor	mayor	menor	dism.
En Re	Re	Mi m	Fa# m	Sol	La	Si m	Do#°

Los acordes I, IV, V y vi (en Re: Re, Sol, La y Si menor) sostienen una fracción considerable de la música popular. Todos están disponibles en la Fig. 1.

3 Proporciones de enteros pequeños

Con afinación exacta, las tres notas de una triada mayor guardan entre sí las proporciones de frecuencia

(2)f : 54f : 32f = 4 : 5 : 6

La consecuencia sobre la onda resultante es inmediata. Una suma de sinusoides

(3)p(t) = Σ_k A_k sin(2π f_k t + φ_k)

es periódica si y solo si todas las frecuencias son múltiplos enteros de una frecuencia común f₀, y su periodo es 1/f₀. Para el Re mayor de la Fig. 1 (Re₃, La₃, Re₄, Fa#₄) las frecuencias justas guardan la proporción 2 : 3 : 4 : 5, con f₀ ≈ 73.4 Hz: la suma se repite cada 13.6 ms. En Re menor la tercera pasa a 6/5 y la proporción a 10 : 15 : 20 : 24. El periodo común se alarga a 68 ms, cinco veces más. La tercera menor es una relación menos simple, y la forma de onda lo refleja.

Armónicos y coincidencias

Una cuerda real no vibra en una sola frecuencia: contiene la serie armónica f, 2f, 3f, … con amplitudes que dependen del punto de pulsación. Helmholtz propuso que la consonancia entre dos notas depende de cuántos de sus armónicos coinciden. Plomp y Levelt refinaron después la idea: la aspereza surge de los armónicos que caen cerca sin coincidir, dentro de la misma banda crítica del oído. La Fig. 2 muestra el espectro del acorde seleccionado en la Fig. 1 y marca las coincidencias entre cuerdas de notas distintas.

Fig. 2 Espectro del acorde activo en la Fig. 1, en escala logarítmica de frecuencia y con el color de cada cuerda. Los círculos señalan armónicos de cuerdas distintas que coinciden (diferencia menor a 1.2%). La lista indica si la coincidencia es exacta o si produce una pulsación, y su frecuencia.

4 Temperamento igual

Una guitarra no puede afinarse con proporciones justas en todas las tonalidades a la vez; los trastes imponen la escala de la ecuación (1). El costo es pequeño pero audible. La desviación de cada intervalo respecto de su proporción justa se mide en cents, centésimas de semitono:

(4)c = 1200 · log₂( r_temperado / r_justo )

Intervalo	Justo	Temperado	Desviación
Tercera menor	6/5 = 1.2000	1.1892	−15.6 ¢
Tercera mayor	5/4 = 1.2500	1.2599	+13.7 ¢
Quinta	3/2 = 1.5000	1.4983	−2.0 ¢
Octava	2/1 = 2.0000	2.0000	0.0 ¢

La quinta temperada es casi perfecta; las terceras no. En el Re mayor de la guitarra, el quinto armónico de Re₃ (734.2 Hz) y el segundo de Fa#₄ (740.0 Hz) casi coinciden y producen un batimiento de unos 5.8 ciclos por segundo. En la Fig. 1, el botón «Sostenido» permite escucharlo, y alternar entre afinación temperada y justa permite oír cómo desaparece.

Batimiento. Dos componentes de frecuencias f y f + Δf suman una oscilación de frecuencia media modulada en amplitud a Δf: sin(2πft) + sin(2π(f+Δf)t) = 2 cos(πΔft) · sin(2π(f+Δf/2)t). El oído percibe la envolvente como un latido.

5 Síntesis de una cuerda pulsada

El sonido de las figuras no se obtiene con grabaciones; cada cuerda se simula numéricamente con el algoritmo de Karplus–Strong. Una línea de retardo de longitud N se llena inicialmente con ruido, que representa el pulso de la púa. En cada paso, la salida se realimenta a la entrada después de promediar dos muestras consecutivas:

(5)y[n] = ρ · ½ ( y[n − N] + y[n − N − 1] ), N + ½ ≈ f_s / f₀

Todo lo que circula por un lazo de periodo 1/f₀ es periódico, así que la serie armónica aparece sin imponerla. El promedio actúa como filtro pasa-bajas: en cada vuelta atenúa más los armónicos agudos que el fundamental, igual que en una cuerda real, cuyo sonido se oscurece al decaer. La implementación añade las extensiones de Jaffe y Smith: un filtro pasa-todo para la parte fraccionaria del retardo, que da la afinación exacta; un filtro peine sobre la excitación, que modela la posición de la púa; y un factor ρ ajustado por frecuencia, para que las cuerdas graves duren más que las agudas. Al final, filtros resonantes en torno a 105 Hz y 210 Hz imitan las resonancias de aire y de tapa de la caja.

6 Laboratorio libre

La Fig. 3 permite componer sumas arbitrarias. Con frecuencias en proporción de enteros pequeños, la suma es periódica y se percibe como una nota con timbre o como un acorde limpio. Con frecuencias que no guardan esa relación, la suma no se repite: es el caso de campanas, platillos y barras metálicas, cuyos modos de vibración son inarmónicos. Una barra libre en ambos extremos, como la de un xilófono, vibra en proporciones 1 : 2.756 : 5.404 : 8.933.

Composición libre de ondas

Ejemplo

Frecuencia (Hz)Amplitud× 1ª

Sonido

Ventana 30 ms

Fig. 3 Laboratorio libre, con hasta seis componentes. El texto indica si la suma es periódica (con su frecuencia común y su periodo), inarmónica o con pulsaciones. En modo «Guitarra», cada componente se toca como una cuerda pulsada a esa frecuencia; en modo «Ondas puras», el sonido es continuo y responde en vivo a los controles.

Referencias

Helmholtz, H. von (1885). On the Sensations of Tone as a Physiological Basis for the Theory of Music (trad. A. J. Ellis). Longmans, Green.
Plomp, R., & Levelt, W. J. M. (1965). Tonal consonance and critical bandwidth. Journal of the Acoustical Society of America, 38(4), 548–560.
Karplus, K., & Strong, A. (1983). Digital synthesis of plucked-string and drum timbres. Computer Music Journal, 7(2), 43–55.
Jaffe, D. A., & Smith, J. O. (1983). Extensions of the Karplus-Strong plucked-string algorithm. Computer Music Journal, 7(2), 56–69.

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